Александр Васильевич родился в селе Коприно Мологского уезда. Первоначальное образование получил в Копринской школе сыроделия. Позднее на средства В.И. Бландова успешно закончил Московское реальное училище и Петровскую сельскохозяйственную академию. Проходил трехгодичную стажировку в институте Луи Пастера в Париже. Позднее открыл в Москве свое молочное дело. Фирма А.В. Чичкина стремительно развивалась, выходя на первые места в российской переработке молока. В Москве действовал крупнейший в Европе городской молочный завод, а так же было открыто около 90 молочных магазинов. Был женат. В 1918 году Александра Васильевича постигло сразу три несчастья: трамваем был зарезан его единственный восемнадцатилетний сын; в Одессе скончался от сыпного тифа брат Иван Васильевич; выехавший на его похороны второй брат Николай Васильевич упал в шахту лифта молочного завода и разбился насмерть. В этот период А.В. Чичкин покинул Россию и переехал во Францию. Но уже в 1923 году вернулся на родину. Трижды сидел в тюрьме за практическую помощь революционерам-большевикам. После революции А.В. Чичкин работал консультантом у А.И. Микояна. В 1926 году А.В. Чичкина, единственного бывшего миллионера России, наградили орденом «Знак Почёта» по рекомендации Микояна и Молотова.
Однако весной 1929 года его направили на трудовое перевоспитание в Северный Казахстан (г. Кустанай), вследствие ложного доноса группы лиц, когда-то работавших у Чичкина. Дело № 27133. В этой ссылке Чичкин получил должность лектора в объединении фабричных библиотек и выступал в клубе с лекциями об истории молочного дела в России.
В 1931 году Молотов вместе с Микояном вызволили Чичкина из ссылки, восстановив его во всех прежних правах.
По имеющимся данным А.В. Чичкин своими рекомендациями помогал становлению и развитию производства простокваш, ряженки, ацидофилина, творожных продуктов и молочно-карамельных смесей на ряде заводов Поволжья, Закавказья, Ленинградской области и Карелии в 1930-1940 годах.
В годы Великой Отечественной войны с его участием была разработана технология быстрого увеличения качественных молочных продуктов при меньших расходах сырья. За эту работу Чичкина поблагодарили И.В. Сталин и А И. Микоян в телеграмме 9 мая 1945 года. В 1942 году в связи с 80-летием со дня рождения ему присвоено звание «Ударник третьего пятилетнего плана». В апреле 1947 года Александр Васильевич предложил правительству развивать в восстанавливаемых после войны регионах мало- и среднемощные предприятия по переработке молока, эти предложения были приняты для развития молочной индустрии в этих регионах в конце 1940-х — первой половине 1950-х годов.
Скончался Александр Васильевич в конце января 1949 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище. В 1949-1956 годах вблизи Арбата был переулок его имени, потом его переименовали, а в 1970-х годах застроили.