Юрий Алексеевич Мешков родился 25 апреля 1940 года в городе Иваново.
Первой юношеской командой, в которой он играл, было «Динамо» под руководством тренера Сергея Демидовича Филиппова. В 1957 году в Первенстве СССР среди юношей групп подготовки команд мастеров команда «Красное знамя» города Иваново выиграла зональное первенство в г. Горьком, причём из 12 забитых мячей – 9 на счету Юрия Мешкова. В финале Первенства СССР юные футболисты заняли 5 место из 8 лучших юношеских команд страны, а Юрий Мешков был приглашён в юношескую сборную страны.
Ю.А. Мешков – игрок футбольных команд мастеров класса «Б» и «А»:
С 1958 по 1962 годы – команды «Красное знамя - Текстильщик» г. Иваново
В 1963 году – команд «Урожай» и «Кубань» г. Краснодар.
В апреле 1964 года по приглашению старшего тренера вновь созданной рыбинской команды «Сатурн» Юрия Федоровича Курганова переехал в Рыбинск и 50 лет посвятил развитию рыбинского футбола:
В 1964 – 1971 годы - в качестве игрока, с 1972 по 2014 годы – в качестве тренера.
В дебютном 1964 году команда заняла предпоследнее 16 место в первой группе, в 1965 году она поднялась на 7 место из 18 в турнирной таблице. А уже в 1966 году реально претендовала на первое место, но в решающей встрече «Сатурн» уступил костромскому «Спартаку» и занял 3 место из 18 во второй группе.
В сезонах 1968 и 1969 годов «Сатурн» победил в своей группе и вышел в полуфинал чемпионата. Оба полуфинала проходили в Рыбинске. В 1968 году команда не смогла выйти в финал, заняв третье место. В 1969 году игроки «Сатурна» одержали уверенную победу в полуфинале. Финал чемпионата проходил в городе Майкопе. Участвовали 6 команд - победители всех полуфиналов. Победитель чемпионата решался во встрече хозяев финала команды «Дружба» с «Сатурном». Встреча завершилась победой команды «Дружба» со счетом 1:0. Таким образом, звание чемпионов России завоевала команда «Дружба». Игроки команд-призёров были награждены жетонами соответствующих степеней и выполнили нормативы для присвоения разряда «кандидат в мастера спорта». По результатам финала команды «Дружба» и «Сатурн» вышли в первую лигу.
После окончания сезона 1971 года старший тренер команды «Сатурн» Александр Дмитриевич Гришин предложил Мешкову перейти на тренерскую работу. В 1972 году Мешков начал работать старшим тренером группы подготовки команды «Сатурн». В 1975 году его воспитанники выиграли зональный турнир и вышли в полуфинал первенства СССР, где проиграли со счётом 0 : 1 будущим победителям среди юношеских команд – «Динамо» Москва.
В 1975 – 1977 и 1983 – 1985 годы Ю.А. Мешков – старший тренер команды «Сатурн», выступавшей в первенстве СССР по футболу во второй лиге класса «А».
В 1978 – 1982 годы Ю.А. Мешков - тренер команды «Сатурн», а старшим тренером был москвич В.М. Бабурин.
В 1975 – 1985 годы лучший результат был показан командой «Сатурн» в сезоне 1980 года: 20 побед, 9 ничьих, 7 поражений, набрано 49 очков и 4 место из 19 команд первой группы второй лиги класса «А» первенства СССР.
С 1986 по 1992 годы Ю.А. Мешков – старший тренер ДСШ «Сатурн» производственного объединения моторостроения.
В 1992 году в Рыбинске была открыта городская футбольная школа – СДЮШОР № 6 отдела народного образования, в которой Юрий Алексеевич продолжил работать старшим тренером.
73 Рыбинских футболиста в разные годы выступали на первенствах СССР и России в командах мастеров и профессиональных командах, 33 из них подготовлены Ю.А. Мешковым. Пятеро его воспитанников: Козлов Валентин, Кондратьев Игорь, Фролов Александр, Копнин Сергей и Максимов Сергей привлекались на сборы кандидатов в юношеские сборные России.
За большой вклад в воспитание молодёжи и развитие футбола Юрий Алексеевич Мешков награждён Министерством спорта России почётным знаком «За заслуги в развитии физической культуры и спорта России» и знаком «Отличник физической культуры и спорта России».
В 2020 году воспитанники Юрия Алексеевича тепло поздравили его с 80-летним юбилеем на стадионе «Метеор».