Константин Николаевич Ахапкин родился в городе Щербакове (Рыбинске) Ярославской области. С 1968 по 1975 г. тренировался в СДЮСШОР №2 под руководством тренера Олега Фёдоровича Родителева.
Спортивной специализацией К. Ахапкина стало легкоатлетическое многоборье. В 1975 году на Всесоюзных юношеских соревнованиях в Сочи К. Ахапкин занял второе место. Призванный на срочную воинскую службу, после прохождения курса молодого бойца, он принял участие в чемпионате Вооружённых Сил СССР и уверенно выиграл звание чемпиона в легкоатлетическом десятиборье, в дальнейшем на соревнованиях выступал за Центральный спортивный клуб армии (ЦСКА). В ЦСКА тренером К. Ахапкина стал заслуженный тренер РСФСР Херман Николаевич Ренга.
Нормативы МС СССР и МСМК СССР в десятиборье он выполнил в 1977 и 1981 годах.
Член сборной команды СССР в 1977 – 1984 годы.
3-кратный чемпион СССР 1977, 1978 и 1982 годов, серебряный призёр чемпионатов 1979 и 1983 годов, бронзовый призёр чемпионата СССР 1981 года, серебряный призёр VII-й и VIII-й летних Спартакиад народов СССР 1979 и 1983 годов.
Выиграл зимний чемпионат СССР 1977 года в семиборье с результатом 5540 очков.
На зимнем чемпионате в помещении 1978 года Константин одержал победу с новым рекордом СССР в семиборье (5823 очка), на летнем чемпионате 1982 года победил с новым рекордом СССР в десятиборье 8458 очков (оба результата по действующей в настоящее время таблице).
Победитель Кубка Европы в командном зачёте 1977 года в Лилле (в личном зачете стал седьмым). На Кубке Европы 1979 года в Дрездене без результата досрочно завершил выступление, при этом советские спортсмены всё же получили бронзовые награды командного зачёта.
Из-за серьёзной травмы не смог принять участие в ХХII летних Олимпийских играх 1980 года в Москве.
На чемпионате Европы 1982 года в Афинах занял 7 место с результатом 8116 очков. В 1983 году добавил в послужной список серебряную награду, полученную на чемпионате страны в рамках VIII летней Спартакиады народов СССР в десятиборье. В 1983 г. принимал участие во впервые проводившемся чемпионате мира по лёгкой атлетике в Хельсинки, но досрочно завершил выступление.