Из обер-офицерских детей Курской губернии. Образование - домашнее. 10 августа 1841 года вступил на военную службу рядовым в Финляндский драгунский (затем 13-й драгунский Военного Ордена) полк. Затем унтер-офицер (20 марта 1842), прапорщик (15 мая 1846), поручик (26 сентября 1849). В 1849 году участвовал Венгерском походе русской армии. За отличие по службе 9 декабря 1850 года был произведён в штабс-капитаны.
Участник Крымской войны 1853-1856 годов. Участвовал в сражениях на реке Чёрной и на Федюхинских высотах 4 августа и 7 сентября 1855 года, у Айтадор (11 сентября 1855), в перестрелке близ Кутиф-Фоцсала (22 сентября 1855), в деле с передовым отрядом неприятеля на правом берегу реки Шуй (26 сентября 1855) и т. д. Ранен не был.
С 25 февраля 1857 года - командир 4-го эскадрона 13-го драгунского Военного Ордена полка. Произведён в капитаны 7 июня 1857 года. Командир 2-го дивизиона с 6 мая 1863 года. Майор (16 февраля 1864 года). Высочайшим приказом от 13 июня 1865 года был уволен со службы по болезни в чине подполковника с мундиром и пенсионом. Был награждён орденами Св. Анны III-й ст. и Св. Станислава III-й ст., а также бронзовой медалью в память войны 1853-1856 годов.
По отставке А.С. Ачкасов поселился в Мологском уезде Ярославской губернии. В 1864 году женился на Анне Павловне Глебовой (1846 - после 1921), дочери дворянского заседателя Мологского земского суда, подпоручика Павла Николаевича Глебова (1819 – ок. 1890). Дети: Семён (23 апреля 1866 года - август 1918), Иван (17 января 1871 года - ?), Елизавета (16 января 1865 года - 1927), Евдокия (22 марта 1867 года - ?) и Анна (28 апреля 1869 года - ?). Ачкасовы проживали в родовом имении Глебовых в сельце Павловском Станиловской волости Мологского уезда. С 1869 года А.С. Ачкасов - почётный мировой судья Мологского съезда мировых судей, затем - его председатель (1879-1881).
Был очень дружен с мологским помещиком Петром Алексеевичем Щепочкиным (1832–1886), отцом русского революционера-народовольца, учёного, поэта и писателя Николая Александровича Морозова (1854–1946).
По смерти А.С. Ачкасова, последовавшей 17 июля 1881 года, его вдова Анна Павловна вступила во второй брак с крупным юристом, впоследствии сенатором Василием Петровичем Мордухай-Болтовским (1839–1915).
Источники:
1. РГВИА. Ф. 400. Оп. 12. Д. 9941. Лл. 10-19 (Формулярный список о службе председателя Мологского съезда мировых судей А.С. Ачкасова, 2 октября 1880).
2. Архив Российской Академии наук. Ф. 543. Оп. 4. Д. 1219. Л. 3. [Цифровые изображения материалов дела доступны на сайте: http://ран.рф/namorozovarchive/5_actview.aspx?id=2944].