Родился 25 августа 1904 года в деревне Горшиха Некоузской волости Мологского уезда Ярославской губернии, в крестьянской семье. Родители: Яков Петрович и Наталья Олимпьевна Принцевы. В 1914 году закончил трёхклассную сельскую школу в селе Дмитриевском. С 1923 года состоял в комсомоле (был секретарём комсомольской организации и на допризывных пунктах проводил политзанятия). В 1924 году окончил среднюю школу 2-й ступени в селе Новинском. Затем работал в хозяйстве у отца. В 1926 году был призван Мологским уездным военкоматом на действительную военную службу.
Как призывник, имеющий законченное среднее образование был направлен в Нижегородскую пехотную школу. По её окончании в 1928 году получил звание командира взвода и был направлен для прохождения службы в 10-й Туркестанский пехотный полк (г. Ленинград).
В этом полку А. Я. Принцев прослужил до 1935 года от командира взвода до командира батальона К-7.
В 1935 году согласно Постановления ЦК ВКП(б) по усилению кадрами ВВС Красной Армии, его направляют служить в авиацию на должность начальника школы младших авиа-специалистов (ШМАС) ст. Горелово (под Ленинградом). В 1936 году там же назначают помощником начальника оперативного отряда истребительной авиа-бригады.
В 1938 году по конкурсу сдает экзамены в Военную Академию им. М.В. Фрунзе и зачисляется слушателем данной Академии.
В 1941 году А. Я. Принцев успешно оканчивает Академию и получает звание майора. Его направляют в ту же авиа-бригаду (ст. Горелово) на должность начальника штаба 194 истребительного авиационного полка. В этой должности его и застает начало войны.
Полк вел боевые действия по обороне Ленинграда от воздушных налетов немецкой авиации. В конце 1941 года полк уходит на переформирование в г. Чебоксары, а затем г. Арзамас в 13-й истребительно-авиационный полк. А. Я. Принцев находился вместе с полком, формирование которого затягивалось. Учитывая это обстоятельство Александра Яковлевича назначают начальником штаба 1-го запасного истребительного авиаполка г. Арзамас, в котором доходило временами до 18 маршевых полков прибывавших с фронта на переформирование. В 1943 году его назначают на фронт в действующую армию на должность начальника штаба 174 авиа-дивизии.
Дивизия входила в состав резерва Верховного Главнокомандующего, поэтому она участвовала во всех операциях сначала 1-го Западного фронта, затем 1-го и 2-го Белорусских фронтов.
Конец войны застает дивизию в то время входящую в состав 4 ВА 2-го Белорусского фронта город Нойбранденбург (Германия).
После окончания войны служил в той же должности на территории Польши города - Мариенбург.
В 1949 году назначается на должность начальника штаба 6-го авиа-истребительного корпуса м. Аляты (под Баку). Там он работает до 1954 года. Затем поступает на учебу на Высшие Академические курсы при Академии Генерального штаба в Москву.
В конце 1954 года, после успешного окончания курсов назначается на должность начальника штаба Минского корпуса ПВО. В этом же году было присвоено воинское звание генерал-майор авиации. В 1955 году А. Я. Принцев назначается командующим этого корпуса.
В 1960 году он увольняется из рядов Советской Армии по болезни.
Член КПСС с марта 1929 года.
Был членом Минского обкома КП Белоруссии, депутатом Минского областного Совета депутатов трудящихся и членом райкома партии. После увольнения из Армии был вызван в ЦК КПБ и направлен на работу директором совхоза им. Фрунзе Минской области. На этой работе был два с лишним года. В 1963 году поступил на работу директором кинотеатра "Победа" в городе Минске.
В 1967 году уволился с работы и более не работал. Проживал в Минске, Новинский пер. 18. кв. 10. Был женат и имел двух взрослых детей.
Награждён орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени (6. 06.1945, ?), орденом Отечественной войны I степени (5.10.1942), орденом Отечественной войны II степени (21. 2.1945), орденом Красной Звезды (3.11.1944), польским крестом Грюнвальда II степени, медалями.
Материалы: Интернет-ресурс "Подвиг Народа" (http://podvignaroda.mil.ru/?#id=1517086348&tab=navDetailManUbil).